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第一章 多元函数的极限和连续性1

1 多元函数的概念1

1.1 平面点集1

1.2 多元函数5

习题1.17

2 多元函数的极限8

2.1 二重极限8

2.2 极限的运算法则11

2.3 二次极限12

习题1.214

3 多元函数的连续性15

3.1 连续函数15

3.2 有界闭区域上连续函数的性质17

3.3 多元初等函数的连续性17

习题1.318

第二章 多元函数的微分学及其应用19

1 偏导数19

1.1 偏导数19

1.2 高阶偏导数23

习题2.125

2 全微分26

2.1 微分中值定理26

2.2 全微分29

2.3 高阶全微分33

习题2.235

3 复合函数的微分法36

3.1 链锁规则36

3.2 一阶全微分形式不变性41

习题2.343

4 隐函数微分法45

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法45

4.2 由方程组确定的隐函数的微分法48

4.3 Jacobi行列式的性质53

习题2.455

5 方向导数和梯度57

5.1 方向导数57

5.2 梯度60

习题2.562

6 多元微分学的几何应用62

6.1 空间曲线的切线和法平面62

6.2 曲面的切平面与法线66

习题2.671

7 多元函数的Taylor（泰勒）公式与极值问题72

7.1 多元函数的Taylor公式72

7.2 多元函数的极值问题74

7.3 条件极值问题79

习题2.786

第三章 重积分87

1 二重积分的概念与性质87

1.1 二重积分的概念87

1.2 二重积分的几何意义和性质90

习题3.193

2 二重积分的计算94

2.1 在直角坐标系下计算二重积分94

2.2 在极坐标系下计算二重积分100

2.3 二重积分的换元法106

习题3.2111

3 三重积分114

3.1 三重积分的概念114

3.2 在直角坐标系下计算三重积分115

3.3 在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分121

习题3.3127

4 含参变量的积分与反常重积分129

4.1 含参变量的积分129

4.2 含参变量的反常积分134

4.3 Γ函数与В函数136

4.4 反常重积分139

习题3.4141

第四章 第一型曲线积分与曲面积分144

1 第一型曲线积分144

1.1 第一型曲线积分的概念与性质144

1.2 第一型曲线积分的计算146

习题4.1151

2 第一型曲面积分152

2.1 第一型曲面积分的概念与性质152

2.2 曲面面积的计算153

2.3 第一型曲面积分的计算156

习题4.2158

3 几何形体上的积分及其应用159

3.1 几何形体上的积分概念160

3.2 几何形体上积分的性质161

3.3 几何形体上的积分应用举例162

习题4.3170

第五章 第二型曲线积分与曲面积分172

1 第二型曲线积分172

1.1 第二型曲线积分的概念与性质172

1.2 两种曲线积分之间的关系175

1.3 第二型曲线积分的计算176

习题5.1180

2 Green公式及其应用182

2.1 Green公式182

2.2 平面曲线积分与路径无关的条件188

习题5.2192

3 第二型曲面积分194

3.1 第二型曲面积分的概念与性质194

3.2 第二型曲面积分的计算198

习题5.3204

4 Gauss公式及其应用206

4.1 Gauss公式206

4.2 散度210

习题5.4212

5 Stokes公式213

5.1 Stokes公式214

5.2 旋度217

习题5.5218

第六章 无穷级数220

1 数项级数的概念与性质220

1.1 数项级数的概念220

1.2 数项级数的性质222

习题6.1224

2 正项级数的敛散性224

2.1 比较判别法224

2.2 比值判别法（d'Alembert（达朗贝尔）判别法）228

2.3 根值判别法（Cauchy（柯西）判别法）230

2.4 积分判别法230

习题6.2232

3 任意项级数233

3.1 Cauchy收敛准则，Leibmiz判别法233

3.2 绝对收敛与条件收敛236

3.3 级数的乘法运算238

习题6.3239

4 函数项级数240

4.1 函数项级数的概念240

4.2 函数项级数的一致收敛性242

4.3 一致收敛级数的和函数的性质246

习题6.4249

5 幂级数250

5.1 幂级数及其收敛性250

5.2 幂级数的运算252

5.3 函数展开成幂级数255

5.4 幂级数的应用举例259

习题6.5263

6 Fourier级数264

6.1 三角函数系的正交性264

6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数265

6.3 奇、偶函数的展开271

6.4 函数展开成正弦级数或余弦级数272

6.5 以2l为周期的函数的Fourier级数274

6.6 Fourier级数的复数形式280

习题6.6282

第七章 常微分方程与差分方程284

1 常微分方程的基本概念284

1.1 常微分方程举例284

1.2 基本概念286

习题7.1288

2 可分离变量的方程289

2.1 可分离变量的方程289

2.2 齐次方程292

习题7.2297

3 一阶线性微分方程298

3.1 一阶齐次线性微分方程298

3.2 一阶非齐次线性微分方程299

3.3 Bernoulli（伯努利）方程302

习题7.3305

4 全微分方程和积分因子306

4.1 全微分方程306

4.2 积分因子309

习题7.4312

5 一阶隐方程313

5.1 参数形式的解313

5.2 方程y＝f（x，y′）315

5.3 方程x＝f（y，y′）317

习题7.5318

6 可降阶的高阶微分方程319

6.1 方程y（n）＝f（x）319

6.2 方程y″＝f（x，y′）320

6.3 方程y″＝f（y，y′）323

习题7.6326

7 高阶齐次线性微分方程327

7.1 通解的结构328

7.2 通解的求法329

7.3 常系数齐次线性微分方程332

习题7.7338

8 高阶非齐次线性微分方程340

8.1 通解的结构340

8.2 通解的求法342

8.3 二阶常系数非齐次线性微分方程344

8.4 Euler方程355

8.5 应用举例357

习题7.8363

9 差分方程364

9.1 差分的概念和性质365

9.2 差分方程的概念367

9.3 一阶线性差分方程368

9.4 线性差分方程通解的结构373

9.5 二阶常系数线性差分方程374

习题7.9385

习题参考答案387

参考文献415