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第1章 函数、极限与连续1

1.1函数1

1.2极限的基本概念与基本性质4

1.3函数极限的计算6

1.4数列极限的存在性判别10

1.5极限的初步应用11

1.6函数的连续性与间断点12

1.7经济中常用的函数与极限在经济中的应用14

1.8典型题分类分析16

题类一、有关函数概念与特性的问题16

题类二、有关极限基本概念与基本性质的问题18

题类三、求函数的极限19

题类四、判别数列极限的存在性与求极限22

题类五、极限的初步应用问题25

题类六、判别函数连续性与间断点28

题类七、证明函数中值命题或方程根命题30

题类八、极限在经济中的应用32

第2章 导数与微分34

2.1导数、微分的概念与基本性质34

2.2导数与微分的运算法则与求法37

2.3隐函数与参数方程确定的函数的导数40

2.4导数的初步应用42

2.5典型题分类分析43

题类一、有关导数概念的问题43

题类二、求直接函数的导数与微分46

题类三、求间接函数的导数50

题类四、导数的初步应用问题52

第3章 微分中值定理与导数的应用54

3.1微分中值定理54

3.2利用导数研究函数与平面曲线的一般性态55

3.3罗必达法则59

3.4泰勒公式61

3.5导数在经济中的应用63

3.6典型题分类分析65

题类一、微分中值定理的初步应用的问题65

题类二、证明微分中值命题71

题类三、研究函数与曲线的性态77

题类四、求函数的最大、最小值的问题82

题类五、讨论方程实根的个数85

题类六、证明不等式87

题类七、利用罗必达法则求极限92

题类八、利用泰勒公式求极限和高阶导数值96

题类九、利用泰勒公式证明不等式和中值命题100

题类十、导数在物理中的应用104

题类十一、导数在经济中的应用106

第4章 定积分与不定积分109

4.1定积分的概念与基本性质109

4.2不定积分的概念与微积分基本定理111

4.3积分公式与积分方法112

4.4变限积分函数与定积分中值定理122

4.5广义积分124

4.6定积分在几何中的应用126

4.7典型题分类分析128

题类一、有关定积分概念与基本性质的问题128

题类二、解有关原函数、不定积分概念与基本性质的问题132

题类三、求线性型的积分135

题型四、求非线性型积分之一（拼凑微分法）137

题类五、求非线性型积分之二（分部积分法）138

题类六、求非线性型积分之三（变量替换法）142

题类七、求非线性型积分之四（综合法）148

题类八、求解有关积分中值定理与变限积分函数的问题151

题类九、证明积分等式（含有关函数的奇偶性与周期性）156

题类十、证明积分不等式（含有关函数的单调性与凹凸性）159

题类十一、证明与积分有关的方程根与中值命题166

题类十二、广义积分169

题类十三、利用定积分求几何度量172

题类十四、一元函数微积分在几何中的综合应用178

题类十五、积分在物理中的应用182

题类十六、积分在经济中的应用188

第5章 微分方程与差分方程190

5.1微分方程的基本概念190

5.2一阶微分方程191

5.3二阶微分方程194

5.4差分方程200

5.5典型题分类分析201

题类一、求解一阶微分方程201

题类二、求解二阶微分方程207

题类三、已知通解或特解，反求微分方程的问题212

题类四、利用微分方程解函数方程，求未知函数214

题类五、利用微分方程解几何问题，求未知曲线216

题类六、利用微分方程构造辅助函数，证明微分中值命题219

题类七、微分方程在物理等问题中的应用之一（解物体的运动问题）220

题类八、微分方程在物理等问题中的应用之二（解物质的变化问题）224

题类九、微分方程在经济等问题中的应用227

题类十、差分方程及其在经济等问题中的应用230

第6章 无穷级数233

6.1常数项级数的概念与性质233

6.2数项级数的审敛法234

6.3幂级数236

6.4傅里叶级数240

6.5典型题分类分析242

题类一、有关级数概念与基本性质的问题242

题类二、数项级数敛散性的判别之一（正项级数审敛法）247

题类三、数项级数敛散性的判别之二（交错级数与任意项级数审敛法）254

题类四、求幂级数的收敛半径和收敛区域259

题类五、求幂级数的和函数262

题类六、求函数的幂级数展开式（间接展开法）270

题类七、级数应用之一（解数列极限的问题）273

题类八、级数应用之二（解有关函数的问题）277

题类九、傅氏系数及其性质281

题类十、傅氏级数的和以及函数展开成傅氏级数284

题类十一、级数在经济中的应用（现值存入与逐年提取问题）289

第7章 向量代数与空间解析几何291

7.1向量291

7.2平面与直线295

7.3曲面与空间曲线298

7.4典型题分类分析301

题类一、有关点的坐标、向量的概念与运算的问题301

题类二、求解平面与直线的方程以及位置关系305

题类三、求解几个有关平面与直线方程的应用的问题310

题类四、求解曲面与空间曲线的问题314

题类五、柱面坐标与球面坐标的初步应用319

题类六、向量与空间曲线在物理中的应用320

第8章 多元函数微分学321

8.1多元函数微分学的基本概念与基本性质321

8.2复合函数的求导法323

8.3隐函数的求导法325

8.4多元微分学在几何中的应用325

8.5多元函数的极值327

8.6方向导数与梯度329

8.7典型题分类分析330

题类一、有关二元函数、极限与连续的问题330

题类二、利用定义求二元函数的偏导数与全微分（含存在性判别）333

题类三、利用一元函数的求导法则求多元函数的偏导数与全微分337

题类四、求复合函数的偏导数与全微分339

题类五、求隐函数的（偏）导数与（全）微分341

题类六、已知偏导数，反求函数或参数（含对偏微分方程作变换）347

题类七、求解与空间曲线（曲面）的切向量（法向量）有关的问题351

题类八、求解多元函数的极值与最值问题357

题类九、最值问题在几何中的应用362

题类十、梯度与方向导数366

题类十一、偏导数在经济中的应用369

第9章 二重积分与三重积分371

9.1二重积分、三重积分的概念和性质371

9.2二重积分的计算372

9.3三重积分的计算375

9.4重积分在几何中的应用379

9.5典型题分类分析380

题类一、有关二重积分、三重积分概念与基本性质的问题380

题类二、二重积分计算之一（基本积分法：利用两种坐标计算二重积分）382

题类三、二重积分计算之二（二重积分法的几种技巧）387

题类四、交换二次积分次序与计算二次积分390

题类五、有关二重积分综合应用问题394

题类六、三重积分计算之一（基本积分法：利用三种坐标计算三重积分）396

题类七、三重积分计算之二（利用对称性计算三重积分）403

题类八、重积分在几何中的应用404

题类九、重积分在物理中的应用408

第10章 曲线积分与曲面积分414

10.1曲线积分414

10.2曲面积分418

10.3三大积分公式422

10.4平面曲线积分与路径无关的条件与二元全微分形式的原函数425

10.5“两量”与“三度”426

10.6典型题分类分析428

题类一、计算对弧长的曲线积分428

题类二、计算对坐标的曲线积分之一（直接法）431

题类三、计算对面积的曲面积分434

题类四、计算对坐标的曲面积分之一（直接法）438

题类五、平面曲线积分与路径无关性的判别与等价性问题441

题类六、计算平面上对坐标的曲线积分之二（间接法，含格林公式应用）446

题类七、计算空间中对坐标的曲线积分之二（间接法，含斯托克斯公式应用）453

题类八、计算对坐标的曲面积分之二（间接法，含高斯公式应用）455

题类九、计算“两量”与“三度”461

题类十、曲线积分与曲面积分在物理中的应用465

附录 2006～2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题（高等数学部分）选解469

2006年数学一～数学四试题选解469

2007年数学一～数学四试题选解473

2008年数学一～数学四试题选解483

2008年农学门类数学试题选解493