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第一章 跨世纪的拓扑学：低维流形1

1．拓扑学序幕1

1.1 Leonhard Euler，圣彼得堡，1736年1

1.2 Leonhard Euler，柏林，1752年2

1.3 Augustin Cauchy，巴黎理工学校（？cole Polytechnique），1825年3

1.4 Carl Friedrich Gauss，哥廷根，1833年4

2．二维流形4

2.1 Simon L'Huilier，日内瓦皇家学院，1812—1813年5

2.2 Niels Henrik Abel，挪威，19世纪20年代5

2.3 Bernhard Riemann，哥廷根，1857年6

2.4 August Ferdinand M？bius，莱比锡，1863年7

2.5 Walther Dyck，慕尼黑，1888年9

2.6 Henri Poincaré，巴黎，1881—1907年10

2.7 Paul Koebe，柏林，1907年10

2.8 Hermann Weyl，哥廷根，1913年11

2.9 Tibor Radó，Szeged，1925年11

3．三维流形12

3.1 Poul Heegaard，哥本哈根，1898年12

3.2 Poincaré，巴黎，1904年：Poincaré猜想12

3.3 James W.Alexander，普林斯顿，20世纪20年代13

3.4 Hellmuth Kneser，格赖夫斯瓦尔德（Greifswald），1929年13

3.5 Herbert Seifert，莱比锡，1933年14

3.6 Edwin Moise，密西根大学，1952年14

3.7 Christos Papakyriakopoulos，普林斯顿，1957年15

3.8 Wolfgang Haken，慕尼黑，Friedhelm Waldhausen，波恩，20世纪60年代15

3.9 George D.Mostow，耶鲁，1968年16

3.10 William Thurston，普林斯顿，20世纪70年代后期17

3.11 William Jaco，Peter Shalen，Klaus Johannson，20世纪70年代后期18

3.12 Thurston，1982年：几何化猜想18

3.13 Richard Hamilton，康奈尔大学，1982年19

3.14 Grigori Perelman，圣彼得堡，2003年20

4．四维流形20

4.1 A.A.Markov Jr，莫斯科，1958年20

4.2 J.H.C.Whitehead，牛津，1949年21

4.3 Vladimir Rokhlin，莫斯科，1952年22

4.4 Michael Freedman，加州大学圣迭戈分校，1982年22

4.5 Simon Donaldson，牛津，1983年23

4.6 Clifford Taubes，哈佛，1987年24

4.7 结语：接下来会是什么？24

5．附录：各节的进一步注记24

6．致谢32

7．图片致谢33

8．参考文献35

第二章 四十六年后的微分拓扑学43

1．主要进展43

2．Poincaré猜想：三个版本45

3．更多细节49

4．参考文献51

第三章 五十年前：五十和六十年代的流形拓扑学55

1．三维流形55

2．更高维57

3．为什么高维常常更容易？61

4．来自听众的问题62

5．参考文献66

第四章 Poincaré猜想71

1．简介71

2．早期的失误72

3．更高维数74

4．Thurston几何化猜想76

5．微分几何和微分方程的途径76

6．参考文献77

第五章 走向Poincaré猜想和三维流形的分类83

1．Poincaré问题83

2．基于分片线性方法的结果84

3．常曲率流形87

4．Thurston的几何化猜想89

5．Ricci流91

6．参考文献93

第六章 Hilbert第18问题：关于晶体群、基本域和装球99

1．在n维欧氏空间中……是否仅有有限多个本质上不同的有（紧致）基本域的运动群？99

2．是否也存在着这样的多面体，它们不是运动群的基本域，而其全等的复本充满（欧氏）空间？104

3．人们怎么样才能在空间中最密实地安排给定形状的无限多个相同的物体，如给定半径的球……即人们如何将它们挤在一起使得被填充的和未填充的空间比尽可能大？105

4．参考文献109

第七章 Nash的诺贝尔奖111

1．博弈论112

2．游戏116

3．几何和分析118

4．后记120

5．致谢120

6．参考文献121

7．John F.Nash发表的文章122

第八章 双曲几何：前150年123

1．正文123

2．附录．双曲三维空间的体积问题132

3．参考文献138

第九章 在古老的Fine Hall中成长143

1．正文143

2．参考文献154

第十章 拓扑流形与光滑流形157

1．正文157

2．参考文献164

第十一章 关于三维Brieskorn流形M（p,q,r）167

1．简介167

2．Schwarz三角群∑＊？∑169

3．中心扩张的三角群Г（p,q,r）174

4．球面情形p-1+q-1+r-1＞1179

5．分数次自守微分形式183

6．双曲情形p-1+q-1+r-1＜1192

7．纤维化准则197

8．幂零流形情形p-1+q-1+r-1=1201

9．参考文献202

第十二章 微分几何中的问题207

微分几何207

1．（自相交）肥皂泡问题207

2．理解标量曲率R＝∑gikgjlRijkl208

3．理解Ricci曲率张量Rik＝∑gjlRijkl208

4．正截面曲率的流形209

5．参考文献210

对1974年问题列表的更新212

6．三维空间中曲面的平均曲率212

7．标量曲率212

8．Ricci曲率212

9．截面曲率213

10．参考文献213

第十三章 微分拓扑215

1．流形的嵌入和浸入216

2．向量空间丛230

3．Thom协边理论245

4．参考文献254

索引257