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第1章 绪论1

1.1 非线性水波2

1.2 非线性解析方法5

第2章 水波理论模型7

2.1 水波的控制方程7

2.2 小振幅波——线性水波8

2.2.1 水面波形、水粒子速度和压强9

2.2.2 波长、波速9

2.2.3 能量、质量传递、动量传递和能量传递9

2.2.4 波的叠加10

2.3 有限振幅波——非线性水波10

2.3.1 斯托克斯波理论10

2.3.2 椭圆函数波、孤立波11

2.3.3 KdV方程12

2.3.4 变形KdV（mKdV）方程17

2.3.5 Boussinesq方程17

2.3.6 Benjimin-Ono方程17

2.3.7 Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程18

2.3.8 Camassa-Holm（CH）方程18

2.3.9 非线性薛定谔方程18

2.3.10 微分差分方程19

第3章 同伦分析方法21

3.1 同伦分析法简介21

3.2 同伦－帕德逼近24

3.3 选择基函数25

3.3.1 由多项式表达的解25

3.3.2 由分式表达的解26

3.4 解的收敛区域可以调节控制27

3.5 不依赖小参数29

3.5.1 Duffing方程29

3.5.2 同伦分析解29

3.5.3 结果分析34

3.5.4 弱非线性不稳定性的一个模型34

3.6 初始猜测解选择程式化36

3.7 浅水中的一维非线性波38

3.7.1 数学描述38

3.7.2 孤立波解41

3.7.3 结果分析41

3.7.4 双孤立波解43

3.8 浅水中的二维非线性波44

3.8.1 问题描述44

3.8.2 初始猜测解程式化46

3.8.3 显式孤立波解46

3.8.4 结果分析47

3.9 浅水中的三维非线性波49

3.9.1 问题描述49

3.9.2 初始猜测程式化50

3.9.3 显式孤立波解51

3.9.4 结果分析51

3.10 深水中的非线性波52

3.10.1 深水波波列53

3.10.2 数学描述54

3.10.3 周期波群55

3.10.4 包络孤立波57

3.10.5 波数k给定时的波形情况57

第4章 非线性微分－差分方程——同伦分析方法60

4.1 微分-差分方程——同伦分析方法基本思想60

4.2 离散的KdV方程61

4.2.1 由分式表达的解62

4.2.2 椭圆余弦波解63

4.2.3 孤立波解65

4.3 结果分析66

4.3.1 由分式表达的解66

4.3.2 椭圆余弦波解68

4.3.3 孤立波解69

4.4 应用到求解离散的改进的KdV方程70

4.4.1 数学描述70

4.4.2 同伦分析解72

4.4.3 解的验证73

4.5 应用到求解Volterra方程74

4.5.1 数学描述74

4.5.2 同伦分析解76

4.5.3 解的验证78

4.6 应用到求解Lotka-Volterra方程80

4.6.1 数学描述80

4.6.2 同伦分析解82

4.6.3 解的验证82

4.7 应用到两个变量的Volterra竞争系统83

4.7.1 数学描述83

4.7.2 同伦分析解85

4.7.3 解的验证85

4.8 本章小结87

第5章 微分变换法88

5.1 微分变换法求解不连续孤立波88

5.1.1 基本理论88

5.1.2 微分变换－帕德逼近方法89

5.1.3 数学公式90

5.1.4 波峰处导数不连续的求解90

5.1.5 波峰处导数不连续的求解91

5.1.6 波峰处导数不连续的解92

5.1.7 波峰处导数连续的解93

5.1.8 结论94

5.2 K（2,2）方程94

5.2.1 紧致孤子解94

5.2.2 尖波解96

5.2.3 冲击－尖波解97

5.2.4 结果分析97

5.3 K（3,3）方程99

5.3.1 紧致孤子解99

5.3.2 冲击－紧致孤子解101

5.3.3 结论102

5.4 广义微分变换法求解差分－微分方程102

5.4.1 微分变换法求解微分－差分方程基本理论102

5.4.2 离散的Volterra方程103

5.4.3 离散的Lotka-Volterra方程104

5.4.4 结果分析105

5.4.5 离散KdV方程107

5.4.6 离散mKdV方程109

5.4.7 分析与结论112

5.5 本章小结112

第6章 非线性发展方程的精确波解113

6.1 微分环上的微分方程求解113

6.2 微分方程的展开阶次的确定119

6.2.1 微分阶次及其性质119

6.2.2 展开阶次的构造算法与实例120

6.3 非线性方程多波解和相互作用解127

6.3.1 扩张微分环127

6.3.2 非线性作用求解和应用到Burgers方程128

6.3.3 （2+1）维Boussinesq方程137

6.3.4 不可积（2+1）维KdV方程141

6.4 （n+1）维Klein-Gordon方程的双行波解146

6.5 本章小结150

第7章 微分－差分方程的精确解151

7.1 微分－差分方程的展开阶次的确定151

7.1.1 问题提出的背景151

7.1.2 几个准备命题152

7.1.3 算法153

7.1.4 具体算例154

7.2 离散的Riccati方程法156

7.2.1 离散Riccati辅助方程算法157

7.2.2 算法的应用158

7.2.3 更多的算例及其它们的精确解161

7.3 离散的椭圆方程法162

7.3.1 椭圆辅助方程法的步骤162

7.3.2 算法的应用163

7.4 离散的射影Riccati方程法171

7.4.1 算法的描述171

7.4.2 算例175

第8章 求解多孤子解的几个直接方法181

8.1 齐次平衡法181

8.2 齐次平衡法求解孤立水波的相互作用182

8.2.1 浅水中的一维非线性波182

8.2.2 浅水中的弱二维非线性波187

8.2.3 深水中的非线性波193

8.3 KP方程约化为Painleve-Ⅱ方程195

8.3.1 KP方程和Painleve-Ⅱ方程的联系196

8.3.2 通过Painleve-Ⅱ方程构造KP方程的解199

8.4 基于Boussinesq方程的KP方程解的直接构造202

8.4.1 方法概述203

8.4.2 应用于（2+1）维KP方程204

8.5 结论与讨论208

附录 椭圆方程的某些特解和Ricatti方程的通解209

参考文献211