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第一篇 数理逻辑3

1.1 命题与命题公式3

1.1.1 命题3

第1章 命题逻辑3

目录3

1.1.2 命题联结词4

1.1.3 命题公式7

1.1.4 命题公式的真值表9

1.2 重言式10

1.2.1 重言式和矛盾式10

1.2.2 等价重言式10

1.2.3 蕴含重言式13

1.2.4 对偶与对偶原理15

1.3 命题演算的推理规则和证明方法15

1.3.1 真值表的证明方法16

1.3.2 形式推理的证明方法——直接证法17

1.3.3 间接证法21

1.4.1 范式24

1.4 命题公式的标准形式24

1.4.2 主范式26

1.5 其他联结词31

习题134

第2章 谓词逻辑37

2.1 个体、谓词与命题函数37

2.1.1 个体与谓词37

2.1.2 命题函数39

2.2 量词39

2.2.1 全称量词40

2.2.2 存在量词41

2.3 谓词公式与翻译41

2.3.1 谓词公式41

2.3.2 命题的符号化42

2.3.3 自由变元和约束变元44

2.4.1 谓词演算的等价式和蕴含式45

2.4 谓词演算的推理理论45

2.4.2 谓词演算的推理规则49

2.5 前束范式52

习题253

第二篇 集合论59

第3章 集合59

3.1 基本概念59

3.1.1 集合及其表示方法59

3.1.2 集合的包含和相等60

3.1.3 空集和全集61

3.1.4 幂集61

3.2 集合的运算与运算定律63

3.2.1 集合的运算与文氏图63

3.2.2 集合运算的定律66

3.2.3 集合的对称差69

3.3 集合的划分与覆盖70

3.4 容斥原理简介72

习题374

第4章 关系79

4.1 序偶与笛卡尔积79

4.1.1 序偶与有序n元组79

4.1.2 笛卡尔积79

4.2 关系、关系矩阵和关系图81

4.2.1 关系的概念81

4.2.2 关系矩阵83

4.2.3 关系图84

4.3 关系的运算84

4.3.1 关系的并、交、补、差运算84

4.3.2 关系的复合运算85

4.3.3 关系的逆运算88

4.4 关系的性质89

4.4.1 定义89

4.4.2 举例92

4.4.3 关系性质的判定定理93

4.5 关系的闭包运算94

4.5.1 定义94

4.5.2 闭包运算的性质95

4.5.3 有限集合上关系的传递闭包96

4.5.4 ρ+的关系图的画法97

4.6 等价关系与等价类98

4.6.1 定义98

4.6.2 等价关系与划分99

4.7 相容关系100

4.7.1 定义100

4.7.2 相容关系与覆盖101

4.8.1 定义102

4.8 偏序102

4.8.2 哈斯图103

4.8.3 偏序集中的特殊元素104

习题4106

5.1 函数与特殊类型函数111

5.1.1 函数的定义111

第5章 函数111

5.1.2 特殊类型函数113

5.2 函数的运算114

5.2.1 函数的复合114

5.2.2 逆函数117

5.3 集合的势与可数集118

5.3.1 集合的势119

5.3.2 可数集121

5.4 自然数与数学归纳法123

5.4.2 数学归纳法124

5.4.1 自然数的性质124

习题5126

第三篇 图论131

第6章 图论基础131

6.1 基本概念131

6.1.1 图131

6.1.2 结点的度132

6.1.3 几种常见的图132

6.1.4 子图133

6.1.5 图的同构134

6.2.1 路、圈和连通性135

6.2 路与圈135

6.2.2 有权图的最短路径问题137

6.3 图的矩阵表示141

6.4 有向图和可达性矩阵142

6.4.1 有向图142

6.4.2 有向图的可达性144

习题6148

7.1 欧拉图与哈密尔顿图151

第7章 图论的典型问题151

7.1.1 欧拉图151

7.1.2 哈密尔顿图155

7.2.1 树158

7.2 树158

7.2.2 生成树与最小生成树159

7.2.3 点割集与边割集161

7.3.1 根树、有序树、M叉树162

7.3 根树及其应用162

7.2.4 基本回路与基本割集162

7.3.2 二叉树164

7.3.3 二叉树在计算机中的应用167

7.4.1 偶图171

7.4 偶图与匹配171

7.4.2 匹配172

7.5.1 平面图174

7.5 平面图与欧拉公式174

7.5.2 欧拉公式176

7.6 连通度179

7.7.1 运输网络、流、割180

7.7 运输网络180

7.7.2 最大流最小割定理182

7.7.3 标记法184

习题7187

8.1.1 运算195

第四篇 近世代数195

第8章 代数系统195

8.1 运算和代数系统195

8.1.2 运算的运算表196

8.1.3 代数系统197

8.2 二元运算的性质与特殊元素198

8.2.1 二元运算的性质199

8.2.2 二元运算的特殊元素200

8.3.1 同构203

8.3 同态和同构203

8.3.2 同态205

8.4 同余关系和商代数208

8.4.1 同余关系208

8.4.2 商代数209

8.5 积代数212

8.5.1 积代数的定义212

8.5.2 积代数的性质213

习题8213

第9章 群与格217

9.1 半群和独异点217

9.1.1 半群217

9.1.2 独异点218

9.1.3 子半群和子独异点220

9.2 群221

9.2.1 定义221

9.2.2 群的基本性质224

9.3 群中元素的周期与循环群225

9.3.1 群中元素的周期225

9.3.2 元素周期的性质225

9.3.3 循环群227

9.4 子群228

9.4.1 两个等价的定义228

9.4.2 子群的判定定理229

9.5 陪集和正规子群231

9.5.1 陪集和陪集划分231

9.5.2 正规子群233

9.6 群同态235

9.7 格与布尔代数237

9.7.1 格的定义和性质237

9.7.2 格的代数系统定义239

9.7.3 几种特殊的格240

9.7.4 布尔代数和布尔表达式242

9.8 环与域246

9.8.1 环246

9.8.2 域248

习题9249

第五篇 组合数学基础255

第10章 组合计数基本方法255

10.1 基本计数方法255

10.2.1 排列257

10.2 排列与组合257

10.2.2 组合258

10.2.3 组合恒等式260

10.3 排列组合生成算法262

10.3.1 排列的生成262

10.3.2 组合的生成265

习题10266

第11章 差分方程268

11.1 生成函数268

11.1.1 幂级数型生成函数的定义268

11.1.2 幂级数型生成函数的运算性质269

11.1.3 整数拆分问题271

11.1.4 指数型生成函数274

11.2 差分方程275

11.2.1 差分方程及其初值问题275

11.2.2 线性常系数齐次差分的特征根求解方法278

11.2.3 线性常系数非齐次差分的解283

11.3 应用举例286

习题11292

第12章 容斥原理和抽屉原理295

12.1 容斥原理295

12.2 有限制排列298

12.3 抽屉原理301

习题12306

参考文献308