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第一章 空间解析几何1

1 空间直角坐标系1

1.1 空间直角坐标系1

1.2 两点间的距离2

2 向量代数4

2.1 向量的概念4

2.2 向量的加、减和数乘运算5

2.3 向量的投影6

2.4 向量的坐标8

2.5 向量的方向余弦10

2.6 向量的数积12

2.7 向量的矢积14

2.8 向量的混合积16

3 平面和直线18

3.1 平面的方程19

3.2 直线的方程26

3.3 直线与平面的关系28

4 二次曲面32

4.1 球面33

4.2 柱面35

4.3 旋转面37

4.4 锥面39

4.5 椭球面40

4.6 单叶双曲面42

4.7 双叶双曲面43

4.8 椭圆抛物面44

4.9 双曲抛物面45

5 坐标轴的变换46

5.1 坐标轴的平移47

5.2 坐标轴的旋转48

习题50

第二章 一元函数微分学55

1 函数55

1.1 常量与变量55

1.2 函数概念56

2 极限63

2.1 数列极限63

2.2 函数的极限71

3 极限存在准则·两个重要极限79

3.1 极限存在的两条准则79

3.2 两个重要极限82

4 无穷大量与无穷小量88

4.1 无穷大量88

4.2 无穷小量89

4.3 无穷小量与无穷大量间的关系90

4.4 函数（数列）极限的另一表达式91

4.5 关于无穷小的定理92

4.6 无穷小量比较93

5 函数的连续性94

5.1 函数连续性定义94

5.2 函数的间断点96

5.3 连续函数的基本性质98

5.4 闭区间上连续函数的性质99

6 一元函数的导数及其运算104

6.1 导数概念104

6.2 导数的运算法则与基本公式109

6.3 复合函数的导数113

6.4 反函数和隐函数的导数116

6.5 高阶导数119

6.6 参数方程确定的函数的导数121

7 微分及其应用123

7.1 微分定义123

7.2 微分的几何意义126

7.3 微分法则126

7.4 微分形式不变性127

7.5 微分在近似计算中的应用127

7.6 高阶微分130

8 中值定理131

8.1 罗尔定理·中值定理131

8.2 洛必达（L′Hospital）法则136

8.3 泰勒公式141

9 导数的应用145

9.1 函数单调增减性的判定法145

9.2 判别极值的两个充分条件146

9.3 最大值和最小值149

9.4 函数的凹性及拐点150

9.5 函数的渐近线与作图152

9.6 导数在生物学上的应用之例153

习题155

第三章 多元函数微分学166

1 多元函数的极限与连续166

1.1 二元函数的定义、定义域166

1.2 二元函数的极限169

1.3 二元函数的连续性171

1.4 连续函数的性质172

2 偏导数与全微分173

2.1 偏导数的定义173

2.2 偏导函数与连续176

2.3 偏导数的几何意义176

2.4 全微分的定义177

2.5 全微分的应用179

2.6 高阶偏导数180

3 复合函数及隐函数的求导181

3.1 复合函数求导法则181

3.2 隐函数求导法则185

4 偏导数的应用189

4.1 空间曲线的切线与曲面的切平面189

4.2 二元函数的泰勒展式193

4.3 二元函数的极值196

习题203

第四章 一元函数积分学208

1 不定积分208

1.1 不定积分的概念与性质208

1.2 换元积分法213

1.3 分部积分法224

1.4 几种特殊类型函数的积分228

2 定积分及其应用241

2.1 定积分概念与性质241

2.2 定积分的计算250

2.3 广义积分与Γ（x）函数255

2.4 定积分的一般应用262

习题278

第五章 重积分285

1 二重积分的定义和性质285

1.1 二重积分的概念285

1.2 二重积分的性质288

2 二重积分的计算和曲面面积290

2.1 直角坐标系中计算二重积分290

2.2 极坐标系中计算二重积分296

2.3 曲面的面积300

3 三重积分303

3.1 三重积分的概念303

3.2 直角坐标系中三重积分的计算304

3.3 柱面坐标系中三重积分的计算306

3.4 球面坐标系中三重积分的计算309

习题312

第六章 曲线积分·曲面积分315

1 曲线积分315

1.1 第一型曲线积分315

1.2 第二型曲线积分318

2 格林公式·平面曲线积分与路径无关的条件323

2.1 格林公式323

2.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件326

3 曲面积分330

3.1 第一型曲面积分330

3.2 第二型曲面积分334

4 高斯公式339

5 斯托克斯公式·空间的曲线积分与路径无关的条件342

5.1 斯托克斯公式342

5.2 空间曲线积分与路径无关的条件346

习题349

第七章 无穷级数353

1 数项级数353

1.1 无穷数列与级数353

1.2 正项级数的敛散性359

1.3 任意项级数的敛散性366

2 幂级数369

2.1 幂级数的收敛半径371

2.2 幂级数的运算375

2.3 函数的幂级数展开式379

2.4 幂级数的应用386

3 傅里叶级数389

3.1 三角函数的正交性390

3.2 函数的傅里叶级数391

3.3 正弦级数与余弦级数396

3.4 函数在任意区间上的傅里叶级数400

4 函数项级数的一致收敛性403

习题413

第八章 微分方程420

1 基本概念420

2 一阶微分方程423

2.1 可分离变量的微分方程423

2.2 齐次微分方程427

2.3 一阶线性方程430

2.4 恰当微分方程433

2.5 几种特殊类型的高阶方程436

3 线性方程解的结构439

4 常系数线性方程444

4.1 二阶常系数线性齐次方程444

4.2 二阶常系数线性非齐次方程448

4.3 欧拉方程456

4.4 一阶线性方程组457

4.5 幂级数解法举例460

5 数学模型简介462

5.1 一般概念及数学模型的分类463

5.2 生物群体总数的估计466

5.3 猎手-食饵系统·捕食模型468

习题471

第九章 线性代数477

1 矩阵的定义和运算477

1.1 矩阵的定义477

1.2 矩阵的运算和运算规律480

1.3 矩阵的分块491

2 方阵的行列式496

2.1 n阶行列式的定义496

2.2 行列式的性质499

3 线性方程组516

3.1 克莱姆（Cramer）定理516

3.2 高斯消元法521

3.3 矩阵的秩和线性方程组有解判别定理530

3.4 用行初等变换求矩阵的逆538

4 n维向量和向量的线性相关性542

4.1 n维向量的定义542

4.2 向量的线性相关性544

4.3 齐次线性方程组解的结构550

5 矩阵的对角化555

5.1 相似矩阵555

5.2 特征值和特征向量557

5.3 矩阵对角化的条件563

5.4 矩阵对角化在微分方程组求解中的应用569

6 实二次型573

6.1 正交方阵573

6.2 实二次型的化简580

6.3 正定二次型589

习题594

习题答案602