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第一章 数学与数学家7

1．数学的概念7

2．数学家的生活9

3．数学家的工作与数学界13

4．大师和学派15

第二章 数学问题的性质21

1．“纯粹”数学和“应用”数学21

2．理论物理学与数学23

3．经典时代数学的应用24

4．功利主义的责难29

5．时髦的说教30

6．小结32

第三章 经典数学的对象和方法34

1．准数学观念的诞生36

2．证明的思想39

3．公理和定义41

4．几何学——从欧几里得到希尔伯特44

5．数和量49

6．逼近的想法55

7．代数学的演进58

8．坐标方法60

9．极限概念与微积分67

附录76

1．欧几里得《几何原本》第V卷中比的演算76

2．实数系的公理式理论77

3．多项式实根的逼近81

4．“穷竭法”论证83

5．初等积分学的应用86

第四章 经典数学中的某些问题91

1．极难问题与不结果实的问题91

A．完满数91

B．费马数93

C．四色问题94

D．初等几何学中的问题95

A．平方和97

2．硕果累累的问题97

B．素数的性质103

C．代数几何学的肇始109

附录110

1．形如4k-1或6k-1的素数110

2．分解ζ(s)为欧拉积110

3．求ax2+bxy+cy2=n的整数解的拉格朗日法112

4．伯努利数与ζ函数115

第五章 新的对象和新的方法120

1．新的演算122

A．复数122

B．向量126

C．函数的代数运算130

D．排列和置换131

E．位移和仿射变换138

F．整数同余式的演算139

G．二次型类的演算140

A．合成律的主要性质142

2．第一种结构142

B．变换群144

C．“抽象”群150

D．四元数与代数151

3．集合语言与一般结构156

A．集合概念156

B．集合语言157

C．代数结构159

（Ⅰ）群159

（Ⅱ）环160

（Ⅲ）域162

（Ⅳ）非交换环和非交换域163

D．序结构164

E．度量空间与拓扑概念165

F．结构的叠置和分离167

4．同构与分类172

A．同构172

B．分类问题175

C．函子和结构的发明177

5．当代数学180

A．数学概观180

B．专才和通才189

C．数学理论的演变190

6．直觉与结构192

附录197

1．四次方程的解197

2．关于群与代数方程之解的补注198

A．对称群？n198

B．方程的伽罗瓦群198

C．伽罗瓦群和自同构群200

D．正规子群和单群201

E．立方体的旋转203

3．关于环和域的补注205

A．模—素数的同余式205

B．高斯整数环Z〔i〕207

C．模—多项式的同余式211

D．代数函数域213

E．关于有序域的注记215

4．距离的例子217

A．连续函数空间中的距离217

B．准希尔伯特空间221

C．希尔伯特空间224

D．p进距离225

A．三角级数和傅里叶系数226

5．傅里叶级数226

B．傅里叶级数的收敛性229

C．伯努利多项式的傅里叶级数234

D．康托尔问题235

第六章 关于“数学基础”的问题和假问题236

1．非欧几何学237

A．平行公设237

B．曲面上的几何学241

C．非欧几何模型243

A．无理数249

2．深入挖掘数的概念249

B．怪胎251

C．算术的公理化252

3．无穷集255

A．无穷集与自然数255

B．无穷集的比较257

4．“悖论”及其后果261

A．存在与构造261

B．集合概念的变异与选择公理262

C．悖论与形式化265

5．数理逻辑的勃兴267

A．逻辑的形式化267

B．元数学269

C．数理逻辑的凯旋270

D．数学家的反应274

E．数学与逻辑之间的关系275

6．“严格证明”的概念277

B．曲面上的曲线280

A．挠曲线280

附录280

1．曲面上的几何学280

C．庞加莱半平面283

2．实数模型287

A．有理数理论287

B．戴德金模型（简述）288

C．梅雷-康托尔模型（简述）289

3．康托尔及其学派的一些定理289

A．实数集不可数289

B．基数之间的序关系291

C．R与R2=R×R等势292

D．子集的集合的基数296

附录 数学家小传297

索引327

1．标准记号327

2．专名索引328

3．人名索引335