现代数学基础丛书：典藏版 第3辑 反应扩散方程讨论PDF|Epub|txt|kindle电子书版本下载

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第1章 行波解的存在唯一性1

1.1 行波解的基本性质1

1.2 波前解的存在性和唯一性4

1.2.1 问题的转化4

1.2.2 存在波前解的必要条件6

1.2.3 初值问题的正解关于参数的单调性7

1.2.4 结-鞍情形的波前解9

1.2.5 鞍-鞍情形的波前解14

1.3 f（u）=u（1-u）（u-a）（0＜a＜1）时单调与非单调行波解的存在性16

1.3.1 奇点分析与各种可能的情形16

1.3.2 c=0的情形17

1.3.3 c＞0时各种可能情形化为统一形式18

1.3.4 显式解19

1.3.5 结-鞍与鞍-鞍情形的波前解20

1.3.6 鞍-焦与鞍-结情形的非单调行波解21

1.4 退化Fisher方程行波解的存在性22

1.5 评注24

习题一27

第2章 基于最大值原理的比较方法及其应用30

2.1 最大值原理30

2.2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一性及估计33

2.2.1 几个函数空间33

2.2.2 嵌入定理及线性椭圆型方程的边值问题34

2.2.3 线性抛物型方程的初边值问题36

2.3 椭圆型方程边值问题的比较方法37

2.3.1 上、下解与比较方法37

2.3.2 二阶线性椭圆算子的特征值问题40

2.3.3 应用——一个平衡解的分叉问题53

2.4 抛物型方程初边值问题的比较方法56

2.4.1 抛物型方程初边值问题的比较原理56

2.4.2 上、下解方法——初边值问题解的存在唯一性57

2.4.3 爆炸现象63

2.5 抛物型方程初值问题的比较方法68

2.5.1 初值问题的比较原理69

2.5.2 上、下解与初值问题解的存在唯一性69

2.6 评注70

习题二72

第3章 平衡解的稳定性76

3.1 平衡解与稳定性概念76

3.2 初边值问题平衡解的稳定性78

3.2.1 基于第一特征值与第一特征函数的稳定性判别法78

3.2.2 基于单调序列的稳定性判别法82

3.3 初值问题常数平衡解的稳定性86

3.3.1 基本引理86

3.3.2 常数平衡解的？稳定性91

3.3.3 常数平衡解（逐点收敛意义下）的稳定性92

3.4 方程组初边值问题常数平衡解的稳定性98

3.5 评注103

习题三104

第4章 抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用106

4.1 概述106

4.2 拟单调增加和拟单调减少情形的比较方法109

4.2.1 上、下解的定义与迭代格式109

4.2.2 抛物型方程组的比较原理112

4.2.3 抛物型方程组初边值问题解的存在唯一性与椭圆型方程组边值问题解的存在性116

4.2.4 抛物型方程组的上、下解方法118

4.3 混拟单调情形的比较方法119

4.4 非拟单调的情形123

4.5 上、下解的构造127

4.5.1 常数上、下解127

4.5.2 转化为求解偏微分方程式128

4.5.3 利用第一特征值和对应的特征函数求上、下解129

4.5.4 利用常微分方程组的解作上、下解129

4.6 非常数平衡解的稳定性132

4.7 评注134

习题四137

第5章 不变区域及其应用141

5.1 反应扩散方程组的不变矩形141

5.2 反应扩散方程组的不变区域145

5.3 比较定理，t→∞时解的渐近行为154

5.4 反应扩散方程的局部解和整体解159

5.5 评注162

习题五163

第6章 平衡解的存在性与分叉问题——度理论的应用164

6.1 度的定义164

6.1.1 有限维空间中的Brouwer度164

6.1.2 Banach空间中的Leray-Schauder度168

6.2 度的性质170

6.3 Leray-Schauder度的计算175

6.3.1 Schauder不动点定理176

6.3.2 奇算子的度176

6.3.3 线性紧算子的奇点指数177

6.3.4 可导紧算子的奇点指数178

6.3.5 渐近线性紧算子的奇点指数181

6.4 度理论的应用——半线性椭圆型方程边值问题解的存在性182

6.5 度理论的应用——多解问题183

6.5.1 Banach空间中紧算子方程的多解问题183

6.5.2 利用严格上、下解构造凸集185

6.5.3 椭圆型方程组的多解问题——存在严格上、下解的情形187

6.5.4 椭圆型方程的多解问题——极小解与极大解不等的情形191

6.6 度理论的应用——分叉问题194

6.6.1 局部分叉的一般结论194

6.6.2 一个常微分方程的分叉问题195

6.6.3 一个偏微分方程的分叉问题204

6.6.4 全局分叉的一般结论206

6.7 评注207

习题六212

第7章 平衡解的存在性与分叉问题——相图法216

7.1 一般原理216

7.2 时间函数是单调的情形219

7.3 时间函数是非单调的情形223

7.4 评注229

习题七230

第8章 非线性方程初值问题——半群理论及应用234

8.1 线性齐次方程的初值问题与C0半群234

8.2 线性算子是C0半群的无穷小生成元的充要条件241

8.3 C0半群对应的线性与非线性方程的初值问题245

8.3.1 线性齐次与非齐次方程的初值问题245

8.3.2 非线性方程初值问题246

8.3.3 应用：二阶非线性波方程的初值问题250

8.4 解析半群与扇形算子253

8.4.1 解析半群与初值问题的解253

8.4.2 可微半群与解析半群的性质254

8.4.3 扇形算子257

8.4.4 由扇形算子确定解析半群262

8.5 解析半群对应的线性方程的初值问题267

8.6 分数幂算子与分数幂空间270

8.6.1 概述270

8.6.2 分数幂算子的定义与例子273

8.6.3 分数幂算子的性质275

8.6.4 几个估计式280

8.6.5 分数幂空间与图范数283

8.7 非线性方程的初值问题286

8.7.1 带奇性的Gronwall不等式287

8.7.2 与初值问题等价的积分方程288

8.7.3 解的局部存在性和唯一性289

8.7.4 解的延拓290

8.7.5 解的紧性291

8.7.6 解的连续性和可微性292

8.7.7 微分方程的光滑作用295

8.8 应用与例子298

8.8.1 由微分算子所确定的扇形算子298

8.8.2 由微分算子所确定的分数幂空间302

8.8.3 一个例子304

8.9 评注306

习题八309

第9章 平衡解的稳定性——动力系统的理论及应用314

9.1 动力系统314

9.2 Lyapunov函数与稳定性判别准则316

9.3 动力系统的极限性质与不变性原理318

9.3.1 极限集318

9.3.2 极限集与Lyapunov函数的关系，动力系统的极限性质320

9.3.3 关于不稳定性的一个结论321

9.4 自治方程与Lyapunov函数322

9.4.1 Lyapunov函数与解的全局存在性322

9.4.2 Lyapunov函数与解的稳定性323

9.4.3 例子324

9.4.4 关于渐近稳定性的逆定理332

9.5 渐近自治方程336

9.6 判断稳定性的线性近似方法338

9.6.1 线性方程的稳定性338

9.6.2 按线性近似方程确定稳定性340

9.7 稳定性问题的若干例子348

习题九359

第10章 行波解的稳定性基本理论及谱方法的应用362

10.1 行波解的几种稳定性定义362

10.2 行波解的渐近稳定性理论363

10.3 双稳态方程及广义Fisher方程波前解的渐近稳定性371

10.3.1 双稳态方程波前解的渐近稳定性371

10.3.2 广义Fisher方程波前解在加权空间中的稳定性375

10.4 退化Fisher方程波前解的渐近稳定性381

10.5 评注386

习题十389

附录 常微分方程准备知识391

1基本定理391

1.1 初值问题解的存在性与唯一性391

1.2 解的延拓392

1.3 解的连续性与可微性392

1.4 线性方程394

2常微分方程的比较原理397

2.1 方程式的最大解与最小解397

2.2 微分不等式与微分方程式的解的比较398

2.3 方程组解的模估计399

2.4 方程组的比较原理399

3自治系统的一般性质400

3.1 相空间与相轨线400

3.2 自治系统轨线的简单性质400

3.3 自治系统的解确定一个动力系统401

3.4 轨线的分类401

3.5 不变集与解的不变性402

4平面自治系统的平衡点402

4.1 概述402

4.2 二维常系数线性方程的标准化404

4.3 标准化方程的简单平衡点405

4.4 线性常系数系统的简单平衡点407

4.5 非线性系统的平衡点408

5二阶保守系统及其相图分析412

5.1 相轨线的普遍性质413

5.2 平衡点邻域的相图413

5.3 整个相平面上的轨线414

6平面自治系统的周期解与极限集417

6.1 概述417

6.2 判别闭轨不存在的准则419

6.3 极限集的一般性质419

6.4 无切线段及其性质420

6.5 Poincaré-Bendixson定理420

6.6 Poincaré-Bendixson定理的应用421

7生态方程421

7.1 捕食方程422

7.2 竞争方程424

7.3 一个互助型方程426

8 n维非线性系统平衡点的稳定性427

8.1 稳定性概念427

8.2 Lyapunov函数429

8.3 判别稳定性的Lyapunov方法431

8.4 常系数线性系统的稳定性432

8.5 判别稳定性的线性化方法433

习题433

参考文献437

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