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第1篇 复变函数论3

第1章 复数及其几何属性3

1.1复数3

1.1.1复数的基本概念3

1.1.2复数的代数运算5

练习题1.19

1.2平面点集9

1.2.1平面区域9

1.2.2平面曲线11

1.2.3单连通域与多连通域13

练习题1.214

1.3复数的应用14

1.3.1复球面与无穷远点15

1.3.2复数的应用举例16

练习题1.318

综合练习题118

第2章 复变函数及其导数、积分21

2.1复变函数21

2.1.1复变函数的概念21

2.1.2初等复变函数23

练习题2.130

2.2复变函数的极限、连续与导数30

2.2.1复变函数的极限30

2.2.2复变函数的连续性33

2.2.3复变函数的导数34

练习题2.236

2.3复变函数的积分37

2.3.1复积分的定义37

2.3.2复积分的存在条件38

2.3.3复积分的性质39

2.3.4复积分的计算40

练习题2.343

2.4复变函数的应用举例43

2.4.1复变函数的物理意义43

2.4.2复积分的物理意义45

练习题2.445

综合练习题246

第3章 解析函数及其相关定理48

3.1解析函数48

3.1.1解析的概念48

3.1.2解析的充要条件49

练习题3.153

3.2柯西积分定理及其推广54

3.2.1柯西积分定理54

3.2.2原函数与不定积分55

3.2.3复合闭路定理57

练习题3.259

3.3柯西积分公式与高阶导数60

3.3.1柯西积分公式60

3.3.2高阶导数公式62

练习题3.364

3.4调和函数64

3.4.1解析函数与调和函数的关系64

3.4.2解析函数的构造66

练习题3.469

3.5解析函数的应用69

练习题3.572

综合练习题372

第4章 复变函数的级数76

4.1复函数项级数76

4.1.1复数序列76

4.1.2复数项级数的概念及其收敛性77

练习题4.180

4.2幂级数80

4.2.1幂级数的概念80

4.2.2幂级数的收敛性81

4.2.3幂级数的运算及性质85

练习题4.287

4.3 Taylor级数87

4.3.1 Taylor展开定理87

4.3.2函数展开成幂级数89

练习题4.392

4.4洛朗级数92

4.4.1双边幂级数及其收敛性92

4.4.2洛朗级数94

练习题4.498

综合练习题499

第5章 留数及其应用102

5.1孤立奇点102

5.1.1孤立奇点的概念及其分类102

5.1.2函数的零点与极点的关系105

5.1.3函数在无穷远点的性态107

练习题5.1110

5.2留数的概念与计算110

5.2.1留数与留数定理110

5.2.2留数的计算规则112

5.2.3无穷远点的留数115

练习题5.2117

5.3留数在实积分计算中的应用118

5.3.1有理函数的积分118

5.3.2三角函数有理式的积分119

5.3.3有理函数与三角函数乘积的积分120

练习题5.3122

综合练习题5122

第6章 共形映射126

6.1共形映射的基本概念126

6.1.1共形映射的定义126

6.1.2解析函数的导数的几何意义128

6.1.3共形映射的基本问题130

练习题6.1132

6.2分式线性映射132

6.2.1基本概念132

6.2.2性质135

6.2.3唯一确定分式线性映射的条件139

6.2.4区域间分式线性映射的建立140

练习题6.2144

6.3几个初等函数所构成的映射144

6.3.1幂函数ω＝zn（n为整数且n≥2）144

6.3.2指数函数ω＝ ez147

练习题6.3149

6.4共形映射的应用149

6.4.1黎曼存在定理150

6.4.2 Laplace方程的边值问题151

练习题6.4153

综合练习题6154

第2篇 积分变换161

第7章Fourier变换及其应用161

7.1 Fourier级数与积分161

7.1.1 Fourier级数161

7.1.2 Fourier积分164

练习题7.1168

7.2 Fourier变换169

7.2.1 Fourier变换的定义169

7.2.2非周期函数的频谱170

练习题7.2172

7.3单位脉冲函数与广义Fourier变换172

7.3.1 δ函数的概念173

7.3.2 δ函数的性质174

7.3.3广义的Fourier变换176

练习题7.3178

7.4 Fourier变换及其逆变换的性质179

7.4.1基本性质179

7.4.2 Fourier变换的导数与积分182

7.4.3卷积与卷积定理184

练习题7.4188

7.5 Fourier变换的应用189

练习题7.5192

综合练习题7193

第8章Laplace变换及其应用195

8.1 Laplace变换的概念195

8.1.1 Laplace变换的定义196

8.1.2 Laplace变换的存在定理197

8.1.3周期函数的Laplace变换198

8.1.4 δ函数的Laplace变换199

练习题8.1200

8.2 Laplace逆变换200

8.2.1反演积分公式201

8.2.2利用留数计算反演积分公式201

练习题8.2203

8.3 Laplace变换的性质204

8.3.1基本性质204

8.3.2微分与积分性质208

8.3.3 Laplace变换的卷积211

练习题8.3214

8.4 Laplace变换的若干应用215

8.4.1利用Laplace变换求微分方程215

8.4.2电路分析219

8.4.3线性系统分析222

练习题8.4225

综合练习题8225

第3篇 基于MATLAB的数学实验231

第9章MATLAB在复变函数与积分变换中的应用231

9.1 MATLAB简介231

9.1.1 MATLAB的基本功能231

9.1.2 MATLAB的指令窗232

9.1.3 MATLAB的演示窗236

9.1.4 MATLAB的编辑窗237

9.1.5 MATLAB的图形窗239

练习题9.1243

9.2利用MATLAB求解复变函数与积分变换中的运算243

9.2.1复数运算和复变函数的图形243

9.2.2复变函数的极限与导数251

9.2.3复变函数的积分与留数定理253

9.2.4复变函数的级数257

9.2.5 Fourier变换及其逆变换259

9.2.6 Laplace变换及其逆变换260

练习题9.2262

综合练习题9262

附录A Fourier变换简表265

附录B Laplace变换简表270

部分练习题参考答案275

参考文献290