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第一篇 微积分1

第一章 函数·极限·连续1

1.1 函数1

1.2 极限·连续3

题型一 关于“抓大头”5

题型二 关于无穷小5

题型三 关于洛必达法则8

题型四 关于“1∞”型极限11

题型五 关于数列极限13

题型六 关于夹逼定理14

题型七 关于单调有界序列16

题型八 关于用定积分求极限18

题型九 关于左、右极限19

题型十 求极限表达式中的未知参数21

题型十一 利用拉格朗日中值定理或泰勒公式计算极限22

题型十二 关于在x=x0的连续性及间断点25

题型十三 关于重要定理的证明27

习题一28

第二章 导数与微分32

2.1 导数的定义32

2.2 基本求导公式及求导运算法则38

题型一 分段函数求导39

题型二 复合函数求导41

题型三 隐函数求导及参数方程求导43

题型四 反函数求导45

题型五 对上限变量求导46

2.3 高阶导数47

题型一 使用归纳法求高阶导数48

题型二 间接法49

题型三 利用莱布尼兹公式求高阶导数50

题型四 利用幂级数展开（或泰勒公式）求f（n）（0）51

习题二51

第三章 积分55

3.1 不定积分55

题型一 三角替换66

题型二 指数代换及简单根式的不定积分68

习题三（1）74

3.2 定积分76

习题三（2）96

3.3 广义积分99

习题三（3）103

第四章 中值定理104

4.1 闭区间上连续函数的性质104

4.2 微分中值定理108

题型一 验证中值定理正确性108

题型二 利用罗尔定理证明零点的存在性109

题型三 利用连续性、极值、单调性证明函数存在零点，并确定零点个数112

题型四 证明二个中值ζ、η的等式及恒等式114

4.3 泰勒公式116

题型一 将函数麦克劳林展开或泰勒展开117

题型二 利用泰勒展开证明等式及不等式119

4.4 积分中值定理122

4.5 关于中值位置的讨论124

4.6 本章中重要定理的证明126

习题四128

第五章 一元微积分的应用131

5.1 导数与切线131

5.2 单调性、凹凸性134

5.3 渐近线、极值与最值137

5.4 不等式142

题型一 利用单调性证明不等式142

题型二 用中值定理证明不等式145

题型三 用凹凸性证明不等式146

题型四 用极值最值证明不等式147

题型五 其他不等式148

习题五（1）152

5.5 几何应用155

5.6 一元微积分在经济方面的应用159

习题五（2）162

第六章 常微分方程166

6.1 常微分方程的基本概念166

6.2 一阶微分方程167

题型一 可分离变量方程167

题型二 一阶齐次方程167

题型三 一阶线性方程169

题型四 将变上限积分方程转化成一阶微分方程174

6.3 常系数一阶线性差分方程175

6.4 二阶常系数线性微分方程177

6.5 常微分方程的应用182

习题六183

第七章 多元函数微分学187

7.1 函数、极限、连续187

7.2 偏导数与全微分190

题型一 求多元复合函数的偏导数及全微分193

题型二 隐函数求导194

题型三 利用变量替换将方程变形197

题型四 利用偏导数或全微分确定常数或函数199

7.3 极值与最值200

题型一 无条件极值201

题型二 条件极值203

7.4 本章中重要定理的证明205

习题七206

第八章 二重积分210

题型一 交换积分次序211

题型二 选择适当坐标系计算二重积分213

题型三 对称性215

题型四 分区域积分219

题型五 其他220

习题八222

第九章 级数225

9.1 数项级数225

9.2 幂级数235

题型一 收敛半径与收敛区域236

题型二 函数展开成幂级数239

题型三 用逐项求导、逐项求积分方法求幂级数的和函数243

题型四 幂级数与微分方程244

题型五 数项级数求和246

习题九249

第二篇 线性代数254

第一章 行列式254

题型一 低阶行列式的计算256

题型二 n阶行列式的计算260

题型三 应用行列式与方阵相关性质计算行列式266

题型四 克莱姆法则271

习题一272

第二章 矩阵276

题型一 矩阵的基本运算280

题型二 求方阵的高次幂285

题型三 初等变换与初等矩阵287

题型四 逆矩阵289

题型五 矩阵方程294

习题二297

第三章 向量302

题型一 向量组的线性表示304

题型二 向量组的极大线性无关组，向量组的秩与矩阵的秩311

习题三315

第四章 线性方程组318

题型一 有关解的性质及结构319

题型二 求解线性方程组321

题型三 求方程组中的参数326

题型四 二个方程组的公共解329

题型五 证明题332

习题四334

第五章 相似矩阵与二次型340

题型一 矩阵的特征值与特征向量344

题型二 相似矩阵350

题型三 可相似对角化问题354

题型四 实对称矩阵相似对角化问题357

题型五 相似对角化对于矩阵高次幂的应用360

题型六 二次型化标准型362

题型七 正定二次型与正定矩阵369

习题五372

第三篇 概率论与数理统计378

第一章 随机事件与概率378

题型一 事件的运算与概率的性质381

题型二 古典概型与几何概型的计算382

题型三 条件概率、乘法公式与事件的独立性385

题型四 全概公式与贝叶斯公式390

题型五 n重贝努利试验392

习题一394

第二章 随机变量398

2.1 一维随机变量398

题型一 分布函数、概率密度及离散型随机变量的分布律401

题型二 利用重要分布求概率407

题型三 随机变量函数的分布412

2.2 二维随机变量418

题型一 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及独立性422

题型二 二维随机变量函数的分布427

习题二432

第三章 随机变量的数字特征438

题型一 一维随机变量的数字特征440

题型二 二维随机变量函数数学期望与方差448

题型三 协方差、相关系数及独立性451

题型四 应用题455

习题三458

第四章 大数定律及中心极限定理461

题型一 关于切比雪夫不等式462

题型二 关于中心极限定理463

习题四464

第五章 数理统计466

5.1 数理统计基本概念466

5.2 点估计473

题型一 矩估计与最大似然估计473

习题五476